Предел последовательности

Определение

Пределом последовательности вещественных чисел называется число A, если выполнено следующее условие:

\forall \varepsilon>0 \exists N: \forall n(n>N \Rightarrow |x_{n}-A|<\varepsilon),

то есть для любой окрестности точки A можно указать номер, начиная с которого все элементы последовательности будут лежать в этой окрестности. Также можно дать эквивалентное определение: число A называется пределом последовательности, если в любой его окрестности содержится бесконечное число элементов последовательности, а вне этой окрестности — лишь конечное число. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся к числу A, если нет, то расходящейся. Тот факт, что число A является пределом последовательности {xn}, записывается следующим образом:

\lim_{n\to\infty}{x_{n}}=A.

Важно отдавать себе отчет в неустранимом недостатке этого определения: оно объясняет, что такое предел, но не дает ни способа его вычисления, ни даже информации о его существовании. Всё это добывается довольно тяжелым трудом из доказываемых ниже свойств предела.

Всё вышесказанное относилось к конечным пределам, но определение предела можно расширить и на бесконечные значения: +\infty и -\infty. Для примера запишем определение предела, равного плюс бесконечности:

\forall M>0 \exists N: \forall n(n>N \Rightarrow x_{n}>M).

Термин «сходящаяся последовательность» не распространяется на последовательности с бесконечными пределами.

Свойства

Имеют место следующие арифметические свойства пределов:

  1. \lim_{n\to\infty}{kx_{n}}=k\lim_{n\to\infty}{x_{n}}, где k — константа;
  2. \lim_{n\to\infty}{(x_{n}+y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}+\lim_{n\to\infty}{y_{n}}, если указанные пределы существуют;
  3. \lim_{n\to\infty}{(x_{n}\cdot y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}{y_{n}} при том же условии;
  4. \lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n}}{y_{n}}}=\frac{\lim_{n\to\infty}{x_{n}}}{\lim_{n\to\infty}{y_{n}}}, если пределы существуют и последний предел не равен нулю.

Свойства 1 — 3 очевидным образом выводятся из определения предела; докажем последнее свойство. Для начала нужно доказать, что 1/yn сходится к 1/b, где b — предел yn. Рассмотрим разность |\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}|. При достаточно больших n она имеет смысл, т. к. yn не равен нулю. Проведём преобразования:

|\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}| = |\frac{1}{b}||b-y_{n}||\frac{1}{y_{n}}| (1).

Последовательность 1/yn ограничена, то есть меньше некоторого числа M. Поскольку yn сходится к b, то существует N: \forall n (n>N\Rightarrow |y_{n}-b|<\frac{\varepsilon |b|}{M}). Подставим эти значения в выражение (1) и получим, что при таких n разность |\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}|<\varepsilon, ч. т. д.

Верны также следующие теоремы:

1. Если при достаточно больших n (или, как говорят, финально) выполняется неравенство xn < yn, то, если обе последовательности имеют пределы a и b, можно утверждать, что a\leq b. Для доказательства сначала доказывается обратный факт (если a < b, то последовательности финально разграничены, а если a = b, то о неравенстве членов последовательностей ничего сказать нельзя). Действительно, у a и b можно взять непересекающиеся окрестности (такие, что каждая точка первой лежит левее каждой точки второй на числовой прямой), в которых финально должны будут лежать та и другая последовательности.

2. Если финально xn < yn < zn и пределы xn и zn равны A, то предел yn также существует и равен A (так называемая теорема о двух милиционерах). Докажем её: для любого эпсилон при достаточно больших n верно следующее:

A-\varepsilon < x_{n} < y_{n} < z_{n} < A+\varepsilon,

то есть yn лежит в эпсилон-окрестности точки A, а значит, A по определению является её пределом.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home