Вещественное число

Веще́ственные или действи́тельные числа могут быть интуитивно определены как числа, описывающие положение точек на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается \R и часто назвается вещественной прямой. Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле.

Содержание

Примеры чисел

  • Рациональные числа — 32, 36/29.
  • Иррациональные числа — Пи, \sqrt 2.

Определения

Существует несколько стандартых путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Вещественные числа \mathbb{R} можно определить как полное упорядоченное поле, то есть поле с отношением ≤ которое удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. Отношение ≤ является полным порядком:
    • Для любых a, b\in\mathbb{R} a≤b или b≤a;
    • Если a≤b и b≤a, то a=b для любых a, b\in\mathbb{R};
    • Если a≤b и b≤c, то a≤c для любых a, b, c\in\mathbb{R};
    • Пусть A,B⊂\mathbb{R} такие, что a≤b для любых a∈A и b∈B, тогда существует c∈\mathbb{R} такое, что a≤c≤b для любых a∈A и b∈B.
  2. Порядок согласован со структурой поля:
    • Если a≤b, то a+c≤b+c для любых a, b, c∈\mathbb{R};
    • Если 0≤a и 0≤b, то 0≤ab для любых a, b∈\mathbb{R};

При этом для любого множества {xk} такого, что все x_k \le A для некоторого A\in\mathbb{R}, существует точная верхняя грань, то есть число X\in\mathbb{R} такое, что

  1. \forall k\;x_k\le X
  2. Если для некоторого Y\in\mathbb{R} \forall k\;x_k\le Y, то X\le Y.

Эти аксиомы задают вещественные числа единственным образом, т. е. любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны.

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа \Bbb{R} могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел \Bbb{Q} по отношению к обычной метрике d(r,q)=|r-q|\,\!.

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел \{r_i\}\,\!. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: \{r_i\} + \{q_i\} = \{r_i + q_i\}\,\! и \{r_i\} \cdot \{q_i\} = \{r_i \cdot q_i\}.

Две такие последовательности \{r_i\}\,\! и \{q_i\}\,\! считаются эквивалентными (\{r_i\} \sim \{q_i\}), если |r_i-q_i|\to 0 при i\to \infty.

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел \mathbb{Q} на два подмножества A\,\! и B\,\! такие, что:

  1. a\le b для любых a\in A и b\in B;
  2. B\,\! не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений, на которых некоторым образом определяются операции сложения и умножения. Например, вещественному числу \sqrt 2 соответствует дедекиндово сечение, определяемое A=\{x\in \mathbb Q|x<0\ или \ x^2\le 2 \}\ и \ B=\{x\in \mathbb Q|x>0 и x^2> 2 \}\,\!

Бесконечные десятичные дроби

Как правило, такое задание практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида \pm d_{-k} d_{-k+1}\dots d_{0}, d_{1} d_{2} \dots, где d_i\,\! являются десятичными цифрами, то есть 0\leq d_i< 10.

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид d 9 9 9\dots и (d+1) 0 0 0\dots, где 0\leq d\leq 8

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда \pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}.

Ссылки

  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.


Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home