Эллипсоид вращения

Эллипсоид вращения (сфероид) — это поверхность в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Другой вариант определения: эллипсоид вращения — это эллипсоид, две главные оси которого имеют одинаковую длину:

\frac{X^2}{{a_x}^2}+\frac{Y^2}{{a_y}^2}+\frac{Z^2}{b^2}=\frac{X^2+Y^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1.\,\!

Если исходный эллипс представлял собой окружность, эллипсоид вращения представляет собой сферу.

Основные формулы

  • Площадь поверхности:
2\pi\left(\frac{(ab)o\!\varepsilon}{\sin(o\!\varepsilon)}+b^2\right)=2\pi\left(\frac{a^2}{\operatorname{sin\!c}(2o\!\varepsilon)}+b^2\right)\,\! (для сжатого)
2\pi\left(a^2+\frac{b^2}{\sin(o\!\varepsilon)}\ln\left(\frac{\cos(o\!\varepsilon)}{1-\sin(o\!\varepsilon)}\right)\right)\,\! (для вытянутого)
  • Объём:
\frac{4}{3}\pi a b^2.\,\!~ (для сжатого)
\frac{4}{3}\pi a^2 b.\,\! (для вытянутого)

Здесь a\,\! - большая полуось, b\,\! - малая полуось, o\!\varepsilon\,\! - угловой эксцентриситет:

o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{b}{a}\right)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right)\quad\mathrm{},\,\! (сжатый)
=\arccos\left(\frac{a}{b}\right)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{b-a}{b+a}}\right)\quad\mathrm{};\,\! (вытянутый)
(sin(oε) часто выражается как эксцентриситет, "e")
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home