Лемма Бореля — Кантелли

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей - это результат, касающейся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Содержание

Первая лемма

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) и последовательность событий \{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}. Обозначим

A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n \right).

Тогда если ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) сходится, то \mathbb{P}(A) = 0.

Вторая лемма

Если все события \{A_n\}_{n=1}^{\infty} совместно независимы, и ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) расходится, то \mathbb{P}(A) = 1.

Замечание

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home