Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Содержание

Построение

Пусть (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2 - два пространства с мерами. Тогда X_1 \times X_2 - декартово произведение множеств X1 и X2.

\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 является семейством подмножеств X_1 \times X_2. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является σ-алгеброй. Введём обозначение

\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 = \sigma \left(\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2\right)

- минимальная σ-алгебра, содержащая \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2. Тогда (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2) - измеримое пространство. Определим на нём меру \mu_1 \otimes \mu_2 : \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \to \mathbb{R} следующим образом:

\mu_1 \otimes \mu_2 (A) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_2(A_2),\quad \forall A = A_1 \times A_2 \in \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2.

Тогда \mu_1 \otimes \mu_2 продолжается единственным образом с \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2 на \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2:

\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_2} \mu_1(A_{x_2})\, \mu_2(dx_2),\quad A \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2

или

\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_1} \mu_2(A_{x_1})\, \mu_1(dx_1),

где

A_{x_2} = \{x_1 \in X_1 \mid (x_1,x_2) \in A )\} - сечение A вдоль x_2 \in X_2, а
A_{x_1} = \{x_2 \in X_2 \mid (x_1,x_2) \in A )\} - сечение A вдоль x_1 \in X_1.

Получившаяся мера \mu_1 \otimes \mu_2 называется произведением мер μ1 и μ2. Пространство с мерой (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2) называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания

\mathbb{P}^{X,Y} = \mathbb{P}^X \otimes \mathbb{P}^Y.

Пример

Мера Лебега mn на \mathbb{R}^n может быть получена как произведение n одномерных мер Лебега m1 на \mathbb{R}:

\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \bigotimes\limits_{i=1}^n \mathcal{B}(\mathbb{R}),

где \mathcal{B}(X) обозначает борелевскую σ-алгебру на пространстве X, и

m_n = \bigotimes\limits_{i=1}^n m_1.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home