Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Содержание

Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы \ T(s) может быть представлена в виде дроби

\ T(s) = \frac{N(s)}{D(s)}.

Устойчивость \ T(s) достигается тогда, когда все её полюса находятся в левой полуплоскости на плоскости корней. В правой полуплоскости их быть не должно. Если \ T(s) получена замыкание отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией \ F(s) = \frac{A(s)}{B(s)}, тогда передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции \ 1 + F(s) Выражение \ 1 + F(s) = 0 называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур \Gamma_s\ охватывающий на \ s-плоскости некоторое число неаналитических точек может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость \ F(s)) при помощи функции \ F(s) таким образом, что получившийся контур \Gamma_{F(s)}\ будет охватывать центр \ F(S)-плоскости \ n раз, причём \ n = z - p, где \ z — число нулей, а \ p — число полюсов функции \ F(s). Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура \Gamma_s\, а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

  • участок, идущий вверх по оси \ j\omega\, от 0 - j\infty до 0 + j\infty.
  • полуокружность радиусом r \to \infty, начинающаяся в точке 0 + j\infty и достигающая конца в точке 0 - j\infty по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы \ F(s), в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции \ F(s) минус количество полюсов \ F(s) в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку \ -1 + j0, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции \ 1+F(s). Заметив, что функция \ 1+F(s) имеет такие же полюса, что и функция \ F(s), а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:


Пусть \Gamma_s\ — замкнутый контур в комплексной плоскости, \ p — число полюсов \ F(s), охваченных контуром \Gamma_s\, а \ z — число нулей \ F(s), охваченных \Gamma_s\ — то есть число полюсов \ T(s) охваченных \Gamma_s\. Получившийся контур в \ F(s)-плоскости, \Gamma_{F(s)}\ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку \ -1 + j0 \ n раз, где \ n = z - p.


Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

  • Если разомкнутая система с передаточной функцией \ F(s) устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку −1.
  • Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов \ F(s) вокруг точки −1 должной быть равно числу полюсов \ F(s) в правой полупоскости.
  • Количество дополнительных охватов (больше, чем \ n + p) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home