Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа — уравнение в частных производных \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

С помощью дифференциального оператора
\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} (оператор Лапласа)
это уравнение может быть сведено к виду \triangle u = 0

Уравнение Лапласа относится к параболическому виду. Функции u(x, y, z), являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями.

В сферических координатах r, φ, z уравнение имеет вид
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \phi}\frac{\partial}{\partial \phi}(\sin \phi \frac{\partial u}{\partial \phi}) + \frac{1}{r^2 \sin ^2 \phi}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0

В плоском случае
\triangle = \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2}
и уравнение Лапласа
\triangle u = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}

В полярных координатах r, φ уравнение имеет вид
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home