Вектор

Содержание

Определение

Ве́ктор — это элемент векторного пространства. С точки зрения математики представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при смене системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой сущность, не зависящую от выбора системы координат. Точнее, вектор является разновидностью тензора, а именно, вектор — это тензор первого ранга.

Свободный и связанный векторы

Различают понятие свободного и связанного вектора.
Связанный вектор — это представитель соответствующего класса.
Свободный вектор — это класс эквивалентности направленных отрезков.
Отношение эквивалентности, которое порождает данное фактормножество связанных векторов, является композицией отношений: параллельность, однонаправленность, равенство норм.это класс эквивалентности направленных отрезков. В математике связанный вектор можно ввести аксиоматически как элемент линейного нормированного пространства. При таком подходе координаты вектора становятся вторичным понятием, определяемыми как коэффициенты в разложении вектора по некоторому базису. Выбор базиса разложения, таким образом, соответствует выбору системы координат.

Операции над векторами

  • Сложение векторов:

Пусть есть два вектора \overline a и \overline b. Построим равные им векторы \overline {AB} и \overline {BC}. Вектор \overline {AC} называют суммой векторов и обозначают\overline {AC}=\overline a+\overline b.

  • Умножение вектора на число:

Пусть дан вектор \overline a и действительное число α. Произведением \alpha \overline a называют такой вектор \overline b, что

1) |\overline b| =\alpha \;|\overline a|; 2) \overline a и \overline b коллинеарны; 3) \overline a и \overline b сонаправлены, если α > 0 и противоположно направлены, если α < 0.

  • Скалярное произведение векторов:

Скалярным произведением (\overline a,\overline b) векторов \overline a и \overline b называют число |a||b| \cos \varphi, где \varphi - угол между векторами \overline a и \overline b. Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой (\overline a,\overline b)= a_x b_x + a_y b_y для двумерных векторов и (\overline a,\overline b)= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z для трёхмерных векторов.

  • Векторное произведение векторов:

Векторным произведением [\overline a \overline b] векторов \overline a и \overline b называют вектор, имеющий длину |a||b| \sin \varphi, где \varphi - угол между векторами \overline a и \overline b, перпендикулярный векторам \overline a и \overline b и образующий с ними правую тройку векторов.

Вектор как множество

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение, именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, objects). В математике вектор из n элементов можно символически обозначить несколькими способами:

\mathfrak A = \mathfrak a = \langle a_1, a_2, ..., a_n\, \rangle = \left ( a_1, a_2, ..., a_n\, \right ).

Готические (Fraktur) буквы \mathfrak a часто заменяются надчёркнутыми латинскими \bar a, а вектора физических величин сопровождаются стрелочкой \vec a.

Длина(модуль) вектора \mathfrak a - скаляр и обозначается |\mathfrak a|. Смотри также векторный анализ.

Число элементов вектора - счётное, может быть конечным или бесконечным. Элементы можно получить с помощью дискретной спектральной функции f(ω), где аргумент ω из натурального множества ℕ перечисляет измерения, а функция возвращает значение координаты в этом измерении. Сами вектора, оставаясь одномерными массивами, часто используются для кодирования координат точек, состояний в многомерных пространствах, системах. Данная функциональная трактовка также позволяет обобщить вектор до объекта из непрерывномерного пространства.
Например, скалярное произведение векторов

\mathfrak{ab} = \sum_{i=1}^n a_i\,b_i

является частным случаем скалярного умножения функций

(f(x)g(x)) = \int_{a}^b f(x)g(x)\,dx.

Дополнительно

Смотри также:

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home