ЛАФЧХ

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. Строится ЛАФЧХ в виде двух графиков, отдельно для амплитуды и фазы.

Анализ систем в виде ЛАФЧХ весьма удобен и находит широкое применение в различных отраслях техники, таких как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Содержание

Названия

В западной литературе используется название диаграмма Боде или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде.

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

Использование

Свойства и особенности

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (контроллера) или фильтра.

ЛАЧХ

Абсциссой логарифмической амплитудной частотной характеристики является частота в логарифмическом масштабе, по ординате отложена амплитуда в децибелах.

ЛАФЧХ позволяет производить умножение амплитуд простым методом сложения.

ЛФЧХ

Абсциссой логарифмической фазовой частотной характеристики является частота в логарифмическом масштабе, по ординате отложена фаза. Физически это означает, на сколько сдвигается фаза сигнала заданной частоты при прохождении его через систему.

Случай минимально-фазовых систем

Амлитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта.

Построение ЛАФЧХ

Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

f(x) = A \prod (x + c_n)^{a_n},

то:

\log(f(x)) = \log(A) + \sum a_n log(x + c_n)

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями

Амплитудная шкала использует масштаб \ 20 Log_{10}(X), то есть амплитуда АФЧХ, равная 100 превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Представим передаточную функцию в виде

H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}
где \ s — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: \ s = j \omega\, \ x_n и \ y_n — константы, а \ H — передаточная функция. Тогда построить ЛАЧХ можно используя следующие правила:
  • в каждом \ s, где \omega\ = x_n (нуль), наклон линии увеличивается на 20 \cdot a_n дБ на декаду.
  • в каждом \ s, где \omega\ = y_n (полюс), наклон линии уменьшается на 20 \cdot a_n дБ на декаду.
  • Начальное значение графика зависит можно найти простой подстановкой значения круговой частоты \omega\ в передаточную функцию.
  • Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.
  • В случае комплексно-сопряжённых нулей или полюсов необходимо использовать звенья второго порядка, \ x^2 + ax + b, наклон менятся в точке \sqrt{b} сразу на 40 \cdot a_n дБ на декаду.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями надо:

  • в каждом нуле поставить точку на 3 \cdot a_n\ дБ выше линии (6 \cdot a_n\ дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей),
  • в каждом полюсе поставить точку на 3 \cdot a_n\ дБ ниже линии (6 \cdot a_n\ дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов),
  • плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот.

Аппроксимация ЛФЧХ

Для построения аппроксимированной ЛФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}

Основной принцип построения ЛФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Настоящая кривая фазы задаётся уравнением - \mathbf{arctan}\bigg(\frac{\mathbf{im}[H(s)]}{\mathbf{re}[H(s)]}\bigg)

Для того, чтобы нарисовать ЛФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:

  • если \ A положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,
  • если \ A отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,
  • для нуля сделать наклон линии вверх на 45 \cdot a_n (90 \cdot b_n для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с \omega = \frac{x_n}{10},
  • для полюса наклонить линию вниз на 45 \cdot b_n (90 \cdot b_n для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с \omega = \frac{y_n}{10},
  • обнулить наклон снова когда фаза изменится на 90 \cdot a_n градусов для простого нуля или полюса и на 180 \cdot a_n градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,
  • сложить все линии и нарисовать результирующую.

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ

ЛАФЧХ некоторых элементарных звеньев

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице \ s — комплексная переменная.

Звено Передаточная функция ЛАФЧХ Примечания
1 идеальный усилитель \ K \ K = 100
2 интегратор \frac{1}{s}
3 дифференциатор \ s
4 апериодическое \frac{1}{Ts+1} \ T = 0,01
5 колебательное \frac{1}{T^2s^2 + 2\;\xi\ T s + 1} \ T = 0,01
\xi\ = 0.1
6 неустойчивое
апериодическое
\frac{1}{Ts - 1} \ T = 0,01
7 форсирующее \ Ts + 1 \ T = 0,01
8 форсирующее
второго
порядка
\ T^2s^2 + 2\;\xi\ T s+ 1 \ T = 0,01
\xi\ = 0.1
9 чистое
запаздывание
\ e^{-sT} \ T = 0.0001

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home