Сфера Римана

Сфе́ра Ри́манариманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости \widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\infty, являющаяся комплексной проективной прямой \mathbb C\mathbb P^1. Как вещественное многообразие диффеоморфна двумерной сфере S2.

Координаты

Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:

  • аффинная комплексная координата z, могущая принимать значение \infty;
  • проективные комплексные координаты [z0:z1];
  • трёхмерные вещественные координаты ξ,η,ζ, связанные уравнением ξ2 + η2 + (ζ − 1)2 = 1.

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

z = \frac{z_1}{z_0}
[z0:z1] = [ζ:(ξ + iη)] при ζ > 0 и [z0:z1] = [0:1] при
ζ = 0
\xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2}
\zeta = \frac{2}{1+|z|^2}

(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.

Дробно-линейные преобразования

Автоморфизми сферы Римана являются дробно-линейные преобразования, называемые также преобразованиями Мёбиуса. Пусть a,b,c,d — матрица из GL_2(\mathbb C). Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:123

z' = \frac{az+c}{bz+d}
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home