Алгебра над кольцом

Пусть K — произвольное коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо A (не обязательно ассоциативное) называется алгеброй над K или K-алгеброй, если для любых элементов k\in K, a\in A однозначно определено произведение ka\in A, причем для всех k,l\in K и a,b\in A справедливы соотношения

  1. (k + l)a = ka + la
  2. k(a + b) = ka + kb
  3. k(la) = (kl)a
  4. Если существует элемент e \in A такой, что ea = ae = a для всех a \in A, то e называется единицей алгебры A, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.
  5. k(ab) = (ka)b = a(kb)

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо последнего условия требуют более слабое:

k(ab) = (ka)b

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение na (где n — целое число) обычно, то есть как сумму n копий a. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Aлгебра над полем

Если K является полем, то, по определению, K-алгебра является векторным пространством над K, а значит, имеет базис. Это дает возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов.

Свойства

  • Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем K можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над K.

Примеры

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home