Устойчивое распределение

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей - это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Содержание

Определение

Распределение \mathbb{P}^X cлучайной величины X называется устойчивым, если для любого n\in \mathbb{N} существуют такие константы a_n,b_n \in \mathbb{R}, что распределение случайной величины anX + bn совпадает с распределением суммы:

a_n X + b_n =^{\!\!\!\!\! \mathcal{D}} \sum\limits_{i=1}^n Y_{n,i},

где равенство понимается в смысле равенства распределений, а случайные величины Yn,i распределены как X, то есть X=Y_{n,i} \sim \mathbb{P}^X,\; i=,\ldots,n.

Замечания

F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R},

где * обозначает свёртку.

\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}.

Свойства устойчивых распределений

  • Случайная величина имеет устойчивое распределение тогда и только тогда, когда она является пределом по распределению линейных комбинаций сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Более точно, случайная величина X может быть пределом по распределению случайных величин вида \frac{S_n - b_n}{a_n}, где
S_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i,\; \{Y_i\}_{i=1}^{\infty} - независимые одинаково распределённые случайные величины,

тогда и только тогда, когда распределение X устойчиво.

  • (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
\ln \phi(t) = \left\{ \begin{matrix} it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\ 1, & t = 0. \end{matrix} \right.,

где 0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1, и

G(t,\alpha) = \left\{ \begin{matrix} \mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\ \frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1 \end{matrix} \right..

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home