Уравнение Фоккера — Планка

Уравнение Фоккера — Планка названо в честь Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц, и может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т.д).

Впервые уравнение было использовано для статистического описания Броуновского движения частиц в воде.

Броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены для разных сил стохастической природы с усреднением по каноническому ансамблю численным методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики.

Однако, вместо сложных вычислений можно использовать уравнения Фоккера — Планка и и рассмотреть функцию плотности вероятности W(\mathbf{v}, t), для частицы иметь скорость в интервале (\mathbf{v}, \mathbf{v} + d\mathbf{v}), когда она имеет начальную скорость \mathbf{v}_0 в момент времени 0.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для N переменных:

\frac{\partial W}{\partial t} = \left[-\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} D_i^1(x_1, \ldots, x_N) + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) \right] W,

где D1 вектор сноса и D2 тензор диффузии, причем диффузия вызвана действием сил стохастической природы.


Содержание

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчета плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее Itō стохастическое дифференциальное уравнение

d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t) dt + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t) d\mathbf{B}_t,

где \mathbf{X}_t \in \mathbb{R}^N функция состояния системы и \mathbf{B}_t \in \mathbb{R}^M — стандартное N-мерное Броуновское движение. Если начальное распределение задано как \mathbf{X}_0 \sim W(\mathbf{x},0), то плотность вероятности W(\mathbf{x},t) состояния системы \mathbf{X}_t дается уравнением Фоккера — Планка со следуюшими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

D^1_i(\mathbf{x},t) = \mu_i(\mathbf{x},t)
D^2_{ij}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2} \sum_k \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sigma_{jk}(\mathbf{x},t).

Примеры

Стандартное скалярное уравнение Броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением

dXt = dBt.

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

\frac{\partial W(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 W(x,t)}{\partial x^2},

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Внешние ссылки

Источники

  • en:Fokker-Planck equation
  • Hannes Risken, «The Fokker-Planck Equation: Methods of Solutions and Applications», 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 354061530X.
  • Crispin W. Gardinder, «Handbook of Stochastic Methods», 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3540208828.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home