Тождество восьми квадратов

Тождество восьми квадратов - математическая теорема о том, что

произведение сумм восьми квадратов само является суммой восьми квадратов.

Действительно:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=\,
(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4-a_5b_5-a_6b_6-a_7b_7-a_8b_8)^2+\,
(a_2b_1+a_1b_2+a_4b_3-a_3b_4+a_6b_5-a_5b_6-a_8b_7+a_7b_8)^2+\,
(a_3b_1-a_4b_2+a_1b_3+a_2b_4+a_7b_5+a_8b_6-a_5b_7-a_6b_8)^2+\,
(a_4b_1+a_3b_2-a_2b_3+a_1b_4+a_8b_5-a_7b_6+a_6b_7-a_5b_8)^2+\,
(a_5b_1-a_6b_2-a_7b_3-a_8b_4+a_1b_5+a_2b_6+a_3b_7+a_4b_8)^2+\,
(a_6b_1+a_5b_2-a_8b_3+a_7b_4-a_2b_5+a_1b_6-a_4b_7+a_3b_8)^2+\,
(a_7b_1+a_8b_2+a_5b_3-a_6b_4-a_3b_5+a_4b_6+a_1b_7-a_2b_8)^2+\,
(a_8b_1-a_7b_2+a_6b_3+a_5b_4-a_4b_5-a_3b_6+a_2b_7+a_1b_8)^2\,

Впервые открытое датским математиком Фердинандом Дегеном около 1818 года, это замечательное тождество было «переокрыто» ещё два раза: сначала Томасом Грейвсом в 1843, а затем Артуром Кэли в 1845. Кэли вывел его, работая над обобщением кватернионов, названным октонионами. В алгебраических терминах тождество означает, что норма произведения двух октонионов равняется произведению их норм: \|ab\| = \|a\|\|b\|. Подобное утверждение верно для кватернионов («тождество четырёх квадратов»), комплексных чисел («тождество двух квадратов») и действительных чисел. В 1898 году Гурвиц (Hurwitz) доказал, что подобного тождества не существует ни для 16 (седенионы), ни для любого другого числа квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home