Мартингал

Мартинга́л в теории случайных процессов — это случайный процесс, такой что наилучшим в смысле среднеквадратичного предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Содержание

Мартингалы с дискретным временем

  • Последовательность случайных величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если
  1. \mathbb{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N};
  2. \mathbb{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
  • Пусть дана другая последовательность случайных величин \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}. Тогда последовательность случайных величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} называется мартингалом относительно \{Y_n\}\,\! или \{Y_n\}\,\!-мартингалом, если
  1. \mathbb{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N};
  2. \mathbb{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) с заданной на нём фильтрацией \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}, где T \subset \mathbb{R}. Тогда случайный процесс \{X_t\}_{t \in T} называется мартингалом относительно \{\mathcal{F}_t\}, если

  1. X_t\,\! измерима относительно \mathcal{F}_t для любого t \in T.
  2. \mathbb{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T.
  3. \mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.

Если в качестве \{\mathcal{F}_t\} взята естественная фильтрация \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}, то \{X_t\}\,\! называют просто мартингалом.

Суб(супер)мартингалы

  • Пусть дана последовательность случайных величин \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}. Тогда последовательность случайных величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} называется су́б(су́пер)мартингалом относительно \{Y_n\}\,\!, если
  1. \mathbb{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N};
  2. \mathbb{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
  • Случайный процесс \{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R} называется суб(супер)мартингалом относительно \{\mathcal{F}_t\}, если
  1. X_t\,\! измерима относительно \mathcal{F}_t для любого t \in T.
  2. \mathbb{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T.
  3. \mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.

Если в качестве \{\mathcal{F}_t\} взята естественная фильтрация \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}, то \{X_t\}\,\! называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

  • Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
  • Если \{X_t\}\,\! — мартингал, то \mathbb{E}X_t = \mathrm{const}.
  • Если \{X_t\}\,\! — субмартингал, то \{-X_t\}\,\! — супермартингал.
  • Если \{X_t\}\,\! является мартингалом, а f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}выпуклая функция, то \{f(X_t)\}\,\! — субмартингал. Если f\,\!вогнутая функция, то \{f(X_t)\}\,\! — супермартингал.
  • Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом. Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.

Пример

Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении "орла" игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении "решки" проигрывает 1 руб. Тогда

  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение "орла" более вероятно, то состояние игрока - субмартингал;
  • если выпадение "решки" более вероятно, то состояние игрока - супермартингал.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home