Гамма распределение

Гамма распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры k > 0,\,\theta > 0\, - коэффициент масштаба
Носитель x \in [0; \infty)\!
Плотность вероятности x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}
Функция распределения \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}
Математическое ожидание k \theta\,
Медиана
Мода (k-1) \theta\,, когда k \geq 1\,
Дисперсия k \theta^2\,
Коэффициент асимметрии \frac{2}{\sqrt{k}}
Коэффициент эксцесса \frac{6}{k}
Информационная энтропия k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,
+(1-k)\psi(k)\,
Производящая функция моментов (1 - \theta\,t)^{-k}, когда t < 1 / θ
Характеристическая функция (1 - \theta\,i\,t)^{-k}

Га́мма распреде́ление в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр k принимает целое значение, то такое гамма распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Содержание

Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right.,

где k,θ > 0. Тогда говорят, что случайная величина X имеет гамма распределение с параметрами k и θ. Пишут X˜Γ(k,θ).

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей гамма распределение, имеют вид

\mathbb{E}[X] = k\theta,
D[X] = kθ2.

Свойства гамма распределения

  • Если X_1,\ldots, X_n - независимые случайные величины, такие что X_i \sim \Gamma(k_i, \theta),\; i = 1,\ldots, n, то
Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta \right).
  • Если X˜Γ(k,θ), и a > 0 - произвольная константа, то
aX˜Γ(k,aθ).

Связь с другими распределениями

\Gamma(1,\theta) \equiv \mathrm{Exp}(\theta).
  • Если X_1,\ldots,X_k - независимые экспоненциальные случайные величины, такие что X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta),\; i = 1,\ldots, k, то
Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, \theta ).
\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right) \equiv \chi^2(n).
\Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2) при k \to \infty.
  • Если X1,X2 - независимые случайные величины, такие что X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2, то
\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2).
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home