Парадокс Смейла

В дифференциальной топологии, парадокс Смейла утверждает, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, т. е. с возможными самопересечениями, но без перегибов. Парадокс Смейла — это вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма контринтуитивная.

Более точно:

Пусть f:S^2\to {\mathbb R}^3 есть стандартное вложение, тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений

f_t:S^2\to {\mathbb R}^3,\ \ t\in [0,1]

такое, что f0 = f и f1 = - f.

Этот парадокс был открыт Стефеном Смейлом (Stephen Smale) в 1958 году. Довольно тяжело представить конкретный пример такого семейства погружений, хотя существует множество иллюстраций и даже фильмов. С другой стороны, гораздо проще доказать, что такое семейство существует, и это как раз то, что и сделал Смейл.

Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно не верно, так как в процессе такого «выворачивания» степень отображения Гаусса должна сохраняться. Действительно, степень отображения Гаусса должна сохраняться, в частности это показывает, что окружность нельзя «вывернуть» в плоскости, но степени отображений Гаусса у f и у - f в {\mathbb R}^3 оба равны 1. Более того, степень любого вложения S^2\to {\mathbb R}^3 равна 1.

Литература

  • Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281—290.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home