Теорема о сумме углов многоугольника

Теорема: Сумма углов k-угольника равна 180°(k-2).

Содержание

Доказательство

Доказательство проводится для случая выпуклого k-угольника

В случае k=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника.

Пусть A1A2...Ak - данный выпуклый многоугольник и k > 3. Тогда проведем n-3 диагонали: A1A3,A1A4,A1A5...A1Ak − 1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n - 2 треугольника: ΔA1A2A3A1A3A4,...,ΔA1Ak − 1Ak. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма каждого треугольника равна 180°, а число этих треугольников есть k-2. Следовательно, сумма углов k-угольника равна 180°(k-2). Теорема доказана.

Замечание

Для невыпуклого k-угольника сумма углов также равна 180°(k-2). Доказательство аналогично но использует в дополнение лемму о том что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.

Примечания

Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искаженной плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите евклидова геометрия.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home